Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC＝72°，过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，BD交AC于点E，交⊙O于点F，连接AF．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）已知BC＝2，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接AO，OB，求出∠OAD＝90°即可；

（2）证得△AEF≌△BCE，得出EF＝CE，设EF＝EC＝x，则AC＝2+x，证得△ABC∽△BEC，根据相似三角形的性质得出关于x的方程，解方程即可．

（1）证明：连接AO、BO、CO，

∵AB＝AC，∠ABC＝72°，

∴∠ABC＝∠ACB＝72°，

∴∠BAC＝36°，

在△ABO和△ACO中

，

∴△ABO≌△ACO（SSS），

∴∠OAC＝∠BAC＝18°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝72°，

∴∠OAD＝∠OAC+∠DAC＝18°+72°＝90°，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠BAC＝∠ABD＝36°，

∴AE＝BE，

∵∠DBC＝36°∠ACB＝72°，

∴∠BEC＝72°，

∴BE＝BC＝2，

∴AE＝BC，

在△BCE和△AFE中

，

∴△AEF≌△BCE（AAS），

∴EF＝CE，

设EF＝EC＝x，则AC＝2+x，

∵∠ABC＝∠BEC＝72°，∠ACB＝∠BCE，

∴△ABC∽△BEC，

∴＝，即＝，

解得x＝﹣1或﹣1﹣（舍去），

∴EF＝﹣1．

故答案为：（1）详见解析；（2）.