Question

下列命题正确的是（　　）

A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形

B．对角线相等的四边形一定是矩形

C．两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形

D．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形

Answer 1

分析：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定为平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边相等，另一组对边平行，但不是平行四边形；
B、对角线相等的四边形不一定为矩形，例题等腰梯形的对角线相等，但不是矩形，应改为对角线相等的平行四边形为矩形；
C、对角线互相垂直的四边形不一定为菱形，例如：画出图形，如图所示，AC与BD垂直，但是显然ABCD不是菱形，应改为对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，根据题意画出相应的图形，如图所示，根据对角线互相平分，得到四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角线相等，得到平行四边形为矩形，最后根据矩形的对角线互相垂直得到矩形为正方形．

解答：解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，
例如等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，不是平行四边形，
故本选项为假命题；
B、对角线相等的四边形不一定是矩形，
例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，
故本选项为假命题；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，
如图所示：AC⊥BD，但四边形ABCD不是菱形，本选项为假命题；

D、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，

已知：四边形ABCD，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，
求证：四边形ABCD为正方形，
证明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形为平行四边形，又AC=BD，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为正方形，则本选项为真命题，
故选D

点评：此题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，以及菱形的判定，判断一个命题为假命题，只需举一个反例即可；判断一个命题为真命题，必须经过严格的证明．熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定是解本题的关键．