Question

画图、证明：如图，，点C、D分别在OA、OB上。

⑴ 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连结OE、CF、DF。

⑵ 在所画图中，

① 线段OE与CD之间有怎样的数量关系：_____________。

② 求证：△CDF为等腰直角三角形。

Answer 1

（1）画出角平分线、线段的垂直平分线。

（2）①

② 方法一：∵EF是线段CD的垂直平分线，

∴FC=FD

∵△COD为直角三角形，E为CD的中点

∴

∴

设CD与OP相交于点G，

∵

∴

又∵CE=OE=EF，

∴，同理

∴，△CDF等腰为直角三角形。

方法二：过点F作FM⊥OA、FN⊥OB，垂足分别为M、N。

∵OP是∠AOB的平分线，

∴FM=FN。

又∵EF是CD的垂直平分线，

∴FC=FD。

∴Rt△CFM≌Rt△DFN，∠CFM=∠DFN。

在四边形MFNO中，由∠AOB=∠FMO=∠FNO=90°，得∠MFN=90°

∴∠CFD=∠CFM+∠MFD=∠DFN+∠MFD=∠MFN=90°

∴△CDF为等腰直角三角形。