Question

7．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ（0^o≤θ≤45^o）．
（1）当点A落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；
（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．当θ=22.5°时，求此时△BMN内切圆的半径；
（3）设△MNB的周长为l，试判断在正方形OABC旋转的过程中l值是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过的面积=S_扇形OBB′+S_△OCB′-S_△OBC-S_扇形OCC′由此计算即可．
（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，首先证明△AEM是等腰直角三角形，推出AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=$\sqrt{2}$x，可得x+$\sqrt{2}$x=1，解得x=$\sqrt{2}$-1，推出BM=AB-AM=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，同理可得BN=2-$\sqrt{2}$，推出MN=$\sqrt{2}$BM=2$\sqrt{2}$-2，设△BMN的内切圆的半径为r，则有$\frac{1}{2}$（MN+BM+BN）•r=$\frac{1}{2}$BM•BN，由此求出r即可解决问题．
（3）在正方形OABC旋转的过程中l值不发生变化．如图3中，延长BA到E使得AE=CN．只要证明△OAE≌△OCN，推出OE=ON，∠AOE=∠CON，再证明△MOA≌△MON，推出EM=MN，推出△BNM的周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2．

解答 解：（1）如图1中，

由题意当点A落到y轴正半轴上时，边BC在旋转过程中所扫过的面积=S_扇形OBB′+S_△OCB′-S_△OBC-S_扇形OCC′
=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′
=$\frac{45•π•（\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{45•π•{1}^{2}}{360}$
=$\frac{π}{8}$．

（2）如图2中，在OA取一点E，使得EM=EO，

∵∠AOM=22.5°，
∴∠EOM=∠EMO=22.5°，
∴∠AEM=∠EOM+∠EMO=45°，
∴△AEM是等腰直角三角形，
∴AM=AE，设AE=AM=x，则EM=EO=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=1，
∴x=$\sqrt{2}$-1，
∴BM=AB-AM=1-（$\sqrt{2}$-1）=2-$\sqrt{2}$，同理可得BN=2-$\sqrt{2}$，
∴MN=$\sqrt{2}$BM=2$\sqrt{2}$-2，
设△BMN的内切圆的半径为r，
则有$\frac{1}{2}$（MN+BM+BN）•r=$\frac{1}{2}$BM•BN，
∴r=$\frac{BM•BN}{MN+BM+BN}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）^{2}}{2\sqrt{2}-2+2-\sqrt{2}+2-\sqrt{2}}$=3-2$\sqrt{2}$．

（3）在正方形OABC旋转的过程中l值不发生变化．
理由：如图3中，延长BA到E使得AE=CN．

∵AE=CN，∠OAE=∠OCN=90°，OA=OC，
∴△OAE≌△OCN，
∴OE=ON，∠AOE=∠CON，
∵∠MON=45°，
∴∠MOA+∠CON=∠MOA+∠AOE=45°，
∴∠MOE=∠MON，∵OM=OM，
∴△MOA≌△MON，
∴EM=MN，
∴△BNM的周长=MN+BM+BN=EM+BM+BN
=（AM+BM）+（AE+BN）=（AM+BM）+（CN+BN）=2AB=2，
∴△BNM的周长为定值．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．