Question

20．如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接CE，AF．现计划在四边形AECF区域内种植花草．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得S_△ABD=S_△CBD，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，可得AE∥CF，AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形；
（2）首先过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，利用勾股定理可求得BH，DH的长，然后利用三角形的面积公式，求得AE的长，继而求得BE与DF的长，则可求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_△ABD=S_△CBD，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，$\frac{1}{2}$AE•BD=$\frac{1}{2}$CF•BD，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABH=30°，
∵AB=2，
∴AH=1，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DH=AH+AD=1+4=5，
∴BD=$\sqrt{D{H}^{2}+B{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$AD•BH，
即$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{7}$×AE=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$，
解得：AE=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
同理：DF=BE=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
∴EF=BD-BE-DF=$\frac{6\sqrt{7}}{7}$，
∴S_{四边形AECF}=EF•AE=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．