Question

18、如图，在一条公路CD的同一侧有A、B两个村庄，A、B与公路的距离AC、BD分别为50m、70m，且C、D两地相距50m，若要在公路旁（在CD上）建一个集贸市场（看作一个点），则A、B两村庄到集贸市场的距离之和最短是

130m

．

Answer 1

分析：本题即是要在CD上找一个点（设为点P），使AP+PB的和最小．设A′是点A关于CD的对称点，当A′、P、B三点共线时，AP+PB的和最小．

解答：解：延长AC到A′，使A′C=AC，则A′与点A关于CD对称．
连接A′B交CD于点P，连接PA，此时AP+PB的和最小．
∵A′与点A关于CD对称，
∴PA′=PA，
∴AP+PB=A′P+PB=A′B．
过点B作AC的垂线，垂足为点E．
在直角△A′BE中，BE=CD=50m，A′E=A′C+CE=AC+BD=120m，
由勾股定理，得A′B=130m．
∴AP+PB=130m．
故A、B两村庄到集贸市场的距离之和最短是130m．

点评：主要考查轴对称--最短路线问题，本题关键是确定集贸市场点P的位置．