Question

如图①，△ABC内接于⊙O，且∠ABC=∠C，点D在弧BC上运动．过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD．
（1）求证：∠ADB=∠E；
（2）求证：AD²=AC•AE；
（3）当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE．请你利用图②进行探索和证明．

Answer 1

分析：（1）由DE∥BC，可得∠ABC=∠E；由∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，得∠ADB=∠C；又∠ABC=∠C，因此∠ADB=∠E；
（2）由∠ABC=∠C得AB=AC；由△ADB∽△AED得

AD

AB

=

AE

AD

；即AD²=AB•AE=AC•AE；
（3）点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE．由弧BD=弧CD，得∠BAD=∠DBC；由DE∥BC，得∠EDB=∠DBC；又∠BDE=∠BAD，因此△DBE∽△ADE．

解答：（1）证明：∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，
∵∠ADB，∠C都是AB所对的圆周角，
∴∠ADB=∠C，
又∠ABC=∠C，
∴∠ADB=∠E；

（2）证明：∵∠ADB=∠E，∠BAD=∠DAE，
∴△ADB∽△AED，
∴

AD

AB

=

AE

AD

，
即AD²=AB•AE，
∵∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∴AD²=AC•AE；

（3）解：点D运动到弧BC中点时，△DBE∽△ADE．
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∴

CD

=

BD

∴∠DBC=∠EAD，
∴∠EDB=∠EAD，
又∵∠DEB=∠AED，
∴△DBE∽△ADE．

点评：本题主要考查综合应用圆、相似等知识推理论证能力和探索、证明能力．