Question

如图，正方形ABCD的边长为4、点E在边AB上，且AE=1．点F为边CD上一动点，且DF=m，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）连接EF，求四边形AEFD的面积s关于m的函数关系式；
（2）若直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分：求此时直线EF对应的函数关系式；
（3）在正方形ABCD的边上是否存在点P，使△PCE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图所示：
连接EF，根据梯形面积的求法s=0.5×（AE+DF）×AD，
可得：s=2m+2；

（2）正方形的面积为16，因为直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分，
所以梯形面积为s=8，所以m=3，
所以F的坐标为（3，4），又因为E的坐标（1，0），
设EF的解析式为y=kx+b，将E和F的坐标代入可得
y=2x-2；

（3）CE长为5，
当C为顶点时，CP长为5，P在AD上，根据勾股定理可知AP=1，
所以P的坐标为（0，1），
当E为顶点时，PE=5，不存在点P，
当P为顶点时，P在CB上，CP=PE，
设BP=x，根据勾股定理列出等量关系式：（4-x）²=9+x²，
解得x=0.875，所以P的坐标（4，0.875），
P在AD上，同理可以求的AP=3.875，
所以P的坐标为（0，3.875），
所以P的坐标为（0，1），（4，0.875），（0，3.875）．
分析：（1）根据梯形面积的求法s=0.5×（AE+DF）×AD，列出s关于m的函数关系式即可；
（2）根据题意算出DF的长度，然后即可求出F的坐标，已知E的坐标，即可求出直线EF对应的函数关系式；
（3）分别取三个点作为定点，然后根据勾股定理和等腰三角形的两个腰相等来判断是否存在符合题意的P的坐标．
点评：本题主要考查对于一次函数的应用，还考查到了对与等腰三角形性质的掌握和勾股定理的应用．