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    【题目】如图：△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°

    求证：（1）△PAC∽△BPD；

    （2）若AC=3，BD=1，求CD的长．

    【答案】（1）见解析；（2）.

    【解析】

    （1）由△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，可得∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，从而即可证明；
    （2）根据相似三角形对应边成比例即可求出PC=PD=，再由勾股定理即可求解．

    证明：（1）∵△PCD是等腰直角三角形，∠DPC=90°，∠APB=135°，

    ∴∠APC+∠BPD=45°，
    又∠PAB+∠PBA=45°，∠PBA+∠PBD=45°，

    ∴∠PAB=∠PBD，∠BPD=∠PAC，
    ∵∠PCA=∠PDB，

    ∴△PAC∽△BPD；
    （2）∵，PC=PD，AC=3，BD=1
    ∴PC=PD=，
    ∴CD=．

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    (1)求证：△APS ∽△ABC；

    (2)如果矩形PQRS是正方形，求它的边长；

    (3)如果AP∶PB＝1∶2，求矩形PQRS的面积．

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    【题目】如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于点G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长是______．

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    【题目】如图，正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C上y轴上，点B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，点E从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动，过点E作x的垂线，交反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象于点P，过点P作PF⊥y轴于点F；记矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为S，点E的运动时间为t秒．

    （1）求该反比例函数的解析式．

    （2）求S与t的函数关系式；并求当S=时，对应的t值．

    （3）在点E的运动过程中，是否存在一个t值，使△FBO为等腰三角形？若有，有几个，写出t值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】近几年“雾霾”成为全社会关注的话题某校环保志愿者小组对该市2018年空气质量进行调查，从全年365天中随机抽查了50天的空气质量指数（AQI），得到以下数据：43、62、80、78、46、78、23、59、32、78、86、125、98、116、86、69、28、43、58、87、75、116、178、146、57、26、43、59、77、103、126、159、201、289、315、253、196、102、93、72、56、43、39、44、47、34、31、29、43、52．

    （1）请你完成如下的统计表；

    AQI

    0～50

    51～100

    101～150

    151～200

    201～250

    300以上

    质量等级

    A（优）

    B（良）

    C（轻度污染）

    D（中度污染）

    E（重度污染）

    F（严重污染）

    天数

    （2）请你根据题中所给信息绘制该市2018年空气质量等级条形统计图；

    （3）请你估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“严重污染”的天数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】抛物线经过点A（，0），B（，0），且与y轴相交于点C．

    （1）求这条抛物线的表达式；

    （2）求∠ACB的度数；

    （3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．

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    【题目】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且CE=CF，连接AE，AF，取AE的中点M，EF的中点N，连接BM，MN．

    （1）请判断线段BM与MN的数量关系和位置关系，并予以证明．

    （2）如图2，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

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    （1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

    （2）若某函数是反比例函数（k>0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

    （3）若某函数是二次函数y=ax2+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标_____，写出符合题意的其中一条抛物线解析式_____，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？_____．（本小题只需直接写出答案）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    （1）求的取值范围；

    （2）化简：.

    （3）在m的取值范围内，当m取何整数时，不等式2mx+x＞2m+1的解为x＜1？

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