Question

已知关于x的方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
①求证：不论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
②若△ABC中，AB、AC的长是已知方程的两个实数根，第三边BC的长为5．问：k为何值时，△ABC是直角三角形？

Answer 1

（1）证明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△＞0，
∴不论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的解为x=，
∴x₁=k+2，x₂=k+1，
设AB=k+2，AC=k+1，
当AB²+AC²=BC²，即（k+2）²+（k+1）²=5²，解得k₁=-5，k₂=2，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=2；
当AB²+BC²=AC²，即（k+2）²+5²=（k+1）²，解得k=-14，由于AB=k+2＞0，AC=k+1＞0，所以k=-14舍去；
当AC²+BC²=AB²，即（k+1）²+5²=（k+2）²，解得k=11，由于AB=k+2=13，AC=12，所以k=11，
∴k为2或11时，△ABC是直角三角形．
分析：（1）先计算出△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1＞0，然后根据△的意义即可得到结论；
（2）利用求根公式得到x₁=k+2，x₂=k+1，设AB=k+2，AC=k+1，再利用勾股定理的逆定理分类讨论：AB²+AC²=BC²或AB²+BC²=AC²或AC²+BC²=AB²，分别建立关于k的方程，解出k的值，然后满足两根为正根的k的值为所求．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的逆定理．