Question

8．如图，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与坐标轴于A、B两点，BE⊥AB，BE=AB，AF⊥OE，垂足为F点
（1）求E点的坐标；
（2）OP平分∠AOB，与直线FA交于P点，求P点坐标；
（3）连BF，问AF、BF、EF三者之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）首先求得A和B的坐标，证明△AOB≌△BGE，即可求得E的坐标；
（2）首先求得OE的解析式，进而求得AP的解析式，则AP与OP（即y=x）的交点就是P，解方程组即可求解；
（3）解OE和AP解析式组成的方程组求得F的坐标，则AF、BF和EF的长度即可求得，进而得到结论．

解答 解：（1）作EG⊥OB于点G．
在y=-$\frac{1}{2}$x+2中令x=0，解得y=2，则A的坐标是（0，2）；
令y=0，即-$\frac{1}{2}$x+2=0，解得：x=4，则B的坐标是（4，0）．
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，即∠ABO+∠OBE=90°，
又∵直角△ABO中，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠OBE，
∴在△AOB和△BGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠OBE}\\{∠AOB=∠BGE}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BGE，
∴BG=OA=2，GE=OB=4，
则OG=OB-BG=4-2=2，
则E的坐标是（2，-4）；
（2）设OE的解析式是y=kx，则2k=-4，
解得k=-2，
则直线EF的解析是y=-2x．
则AP的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2．
∵OP平分∠AOB，即OP的解析式是y=x，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
则P的坐标是（4，4）；
（3）则EF+AF=$\sqrt{2}$BF．
理由是：
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
则F的坐标是（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$）．
则AF=$\sqrt{（-\frac{4}{5}）^{2}+（2-\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
BF=$\sqrt{（4+\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{5}$，
EF=$\sqrt{（2+\frac{4}{5}）^{2}+（4+\frac{8}{5}）^{2}}$=$\frac{14\sqrt{5}}{5}$．
则EF+AF=$\sqrt{2}$BF．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式以及全等三角形的判定与性质，理解直线垂直的条件，求得P的坐标是关键．