Question

7．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=8，ON=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM，故可得出∠BCD=∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；
（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE=x，则OE=x-1，NE=ED=x，r=OD=OE+ED=2x-1连结AO，则AO=OD=2x-1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．

解答 （1）证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB=90°
∴∠C+∠B=90°，
同理∠C+∠CNM=90°
∴∠CNM=∠B，
∵∠CNM=∠AND
∴∠AND=∠B，
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC}$，
∴∠D=∠B，
∴∠AND=∠D，
∴AN=AD；

（2）解：设OE的长为x，连接OA
∵AN=AD，CD⊥AB
∴DE=NE=x+1，
∴OD=OE+ED=x+x+1=2x+1，
∴OA=OD=2x+1，
∴在Rt△OAE中OE²+AE²=OA²，
∴x²+4²=（2x+1）²．
解得x=$\frac{5}{3}$或x=-3（不合题意，舍去），
∴OA=2x+1=2×$\frac{5}{3}$+1=$\frac{13}{3}$，
即⊙O的半径为$\frac{13}{3}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．