Question

已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S_△APD＋S_△APB＝．其中正确结论的序号是

A．①③④

B．①②③

C．②③④

D．①②④

Answer 1

A

解析试题分析：①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP=90°，即可证；②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；④连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可．
①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
又∵AE=AP，AB=AD，
∴△APD≌△AEB；
故此选项成立；
③∵△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴EB⊥ED；
故此选项成立；
②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，

∵AE=AP，∠EAP=90°，
∴∠AEP=∠APE=45°，
又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF，
∴∠FEB=∠FBE=45°，
又∵
∴BF=EF=
故此选项不正确；
④连接BD，在Rt△AEP中，
∵AE=AP=1，
∴
又∵PB＝
∴
∵△APD≌△AEB
∴PD=BE=2

故此选项成立；
故选A.
考点：全等三角形的判定和性质、正方形的性质、正方形和三角形的面积公式、勾股定理
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作出选择、填空的最后一题出现.