Question

下列命题中，其中正确的命题个数有（　　）
（1）在△ABC中，已知AB=6，AC=2

6

，∠B=45°，则∠C的度数为60°；
（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；
（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；
（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=1，则AP=

5 -1

2

．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；
（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；
（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；
（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．

解答：解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=6，∠B=45°，
∴AD=ABsin45°=6×

2

2

=3

2

，
又∵AC=2

6

，
∴sin∠C=

AD

AC

=

3 2

2 6

=

3

2

，
∴∠C=60°，故本小题正确；
（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；
（3）∵半圆的圆心角为180°，
∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，
故本小题错误；
（4）①若AP是较长线段，则AP²=AB•BP，
即AP²=1×（1-AP），
AP²+AP-1=0，
解得AP=

5 -1

2

，
②若AP是较短的线段，则
AP=1-

5 -1

2

=

3- 5

2

，
故本小题错误．
综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．
故选B．

点评：本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．