Question

如图1，已知长方体的长为BC=2cm，宽AC=1cm，高AA′=4cm．
（1）一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？
（2）如图2，若在长方体的表面A′B′C′D′上放一个底面圆最大的圆锥体，且圆锥底面在四边形A′B′C′D′内，设圆心为O，试判断∠A′0C′的度数范围．（不要求计算过程）

Answer 1

解：（1）根据题意，如下图所示，最短路径有以下三种情况：
①沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′²=AB²+BB′²=（2+1）²+4²=25，
②沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D'A'，A′A剪开，得图（2）AB′²=AC²+B′C²=1²+（4+2）²=37，
③沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′²=AD²+B′D²=2²+（4+1）²=29，
综上所述，最短路径应为（1）所示，
所以AB′²=25，
即AB′=5cm，
答：最短路径为（1）所示5cm；

（2）要保证底面圆最大，必须使得圆与长方形的两条长边相切，则此时圆的半径长为，
当圆与A′C′相切时，∠A′0C′最大，此时为90°；
当圆与B′D′相切时，E为切点，∠A′0C′最小，此时，A′E=，OE=，tan∠A′0E=
所以∠A′0E≈18.4°，∠A′0C′≈36.8°，
∠A′OC′的度数范围为36.8°≤∠A′OC′≤90°．
分析：（1）要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
（2）要保证底面圆最大，必须使得圆与长方形的两条长边相切，分圆与A′C′相切、圆与B′D′相切两种情况求得∠A′0C′的度数范围．
点评：考查了平面展开-最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．同时考查了切线的性质和分类思想．