Question

如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）易证四边形OCED为平行四边形，菱形对角线互相垂直，根据有一个内角为90°的平行四边形可以证明四边形为矩形；（2）根据菱形的周长可以求得菱形的边长，根据矩形的周长计算菱形对角线长，即可计算菱形的面积，即可解题．

解答：解：（1）∵DE∥AC，CE∥BD
∴四边形OCED为平行四边形，
∵AC，BD为菱形的对角线，
∴AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴平行四边形OCED为矩形．

（2）菱形ABCD的周长为20，
则菱形的边长为5，即

OC2+OD2

=5，
矩形OCED的周长为14，
则OC+OD=7，
解题OC=3，OD=4，
∴AC=6，BD=8，
∴菱形的面积为

1

2

×6×8=24．
答：菱形ABCD的面积为 24．

点评：本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了矩形的判定，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据OC，OD的关系求得OC，OD的值是解题的关键．