Question

3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=8cm，BD=6cm，AC上一动点P从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向A运动，设点P运动时间为ts．当t等于（　　）时，△PCD是直角三角形．

• A． $\frac{9}{4}$s
• B． 4s
• C． $\frac{9}{4}$s或$\frac{25}{4}$s
• D． 4s或$\frac{25}{4}$s

Answer 1

分析 分两种情形求解①当点P与O重合时，∠DPC=90°，△PDC是直角三角形，此时t=4s．②当∠PDC=90°，△PDC是直角三角形，此时△PDC∽△DOC，求出PC即可解决问题．

解答 解：①当点P与O重合时，∠DPC=90°，△PDC是直角三角形，此时t=4s．
②当∠PDC=90°，△PDC是直角三角形，此时△PDC∽△DOC，
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{CD}{CO}$，
∵CD=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴$\frac{PC}{5}$=$\frac{5}{4}$，
∴PC=$\frac{25}{4}$，
∴t=$\frac{25}{4}$s时，△PDC是直角三角形，
∴t=4s或$\frac{25}{4}$s时，△PDC是直角三角形，
故选D．

点评 本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用相似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考常考题型．