【题目】(本小题满分14分)
如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.
(1)求直线y=kx+b的解析式;
(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;
(3)若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.
【答案】(1) y=x+3;(2)P(,);(3).
【解析】
试题分析:(1)将A、B两点坐标代入y=kx+b中,求出k、b的值;(2)作出点P到直线AB的距离后,由于∠AHC=90°,考虑构造“K形”相似,得到△MAH、△OBA、△NHP三个三角形两两相似,三边之比都是3∶4∶5.由“”可得,整理可得d关于x的二次函数,配方可求出d的最小值;(3)如果点C关于直线x=1的对称点C′,根据对称性可知,CE=C′E.当C′F⊥AB时,CE+EF最小.
试题解析:
解:(1)∵y=kx+b经过A(-4,0)、B(0,3),
∴,解得k=,b=3.
∴y=x+3.
(2)过点P作PH⊥AB于点H,过点H作x轴的平行线MN,分别过点A、P作MN的垂线段,垂足分别为M、N.
设H(m,m+3),则M(-4,m+3),N(x,m+3),P(x,-x2+2x+1).
∵PH⊥AB,∴∠CHN+∠AHM=90°,∵AM⊥MN,∴∠MAH+∠AHM=90°.
∴∠MAH=∠CHN,∵∠AMH=∠CNH=90°,∴△AMH∽△HNP.
∵MA∥y轴,∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.
∴.
∴.
整理得:,所以当x=,即P(,).
(3)作点C关于直线x=1的对称点C′,过点C′作C′F⊥AB于F.过点F作JK∥x轴,,分别过点A、C′作J⊥JK于点J,C′K⊥JK于点K.则C′(2,1)
设F(m,m+3)
∵C′F⊥AB,∠AFJ+∠C′FK=90°,∵CK⊥JK,∴∠C′+∠C′FK=90°.
∴∠C′=∠AFJ,∵∠J=∠K=90°,∴△AFJ∽△FC′K.
∴,∴,解得m=或-4(不符合题意).
∴F(,),∵C′(2,1),∴FC′=.
∴CE+EF的最小值=C′E=.
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【题目】已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣3,0),B(2,5)两点.正比例函数y=kx的图象经过点B(2,3).
(1)求这两个函数的表达式.
(2)在直角坐标系中,画出这个函数的图象.
(3)求三角形AOB的面积.
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【题目】如图,建设“幸福西宁”,打造“绿色发展样板城市”.美丽的湟水河宛如一条玉带穿城而过,已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在数学课外实践活动中,小亮在海湖新区自行车绿道北段上的两点分别对南岸的体育中心进行测量,分别没得米,求体育中心到湟水河北岸的距离约为多少米(精确到1米,)?
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【题目】为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图:
甲、乙射击成绩统计表
平均数 | 中位数 | 方差 | 命中10环的次数 | |
甲 | 7 | 4 | 0 | |
乙 | 5.4 | 1 |
甲、乙射击成绩折线图
(1)请计算出甲选手第8次命中的环数;
(2)补全上述图表(请直接在表中填空和补全折线图);
(3)你会选择哪位选手参加比赛?说说你的理由.
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【题目】如图,将△ABC沿直线AB翻折后得到△ABC1 , 再将△ABC绕点A旋转后得到△AB2C2 , 对于下列两个结论:
①“△ABC1能绕一点旋转后与△AB2C2重合”;
②“△ABC1能沿一直线翻折后与△AB2C2重合”的正确性是( )
A.结论①、②都正确
B.结论①、②都错误
C.结论①正确、②错误
D.结论①错误、②正确
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【题目】随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越来越美丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为米处达到最高,水柱落地处离池中心米.
(1)请你建立适当的直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式;
(2)求出水柱的最大高度是多少?
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【题目】某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系:y=-x+60(30≤x≤60).
设这种双肩包每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数解析式;
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?
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