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【题目】(本小题满分14分)

如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(-4,0)、B(0,3),抛物线y=-x2+2x+1与y轴交于点C.

(1)求直线y=kx+b的解析式;

(2)若点P(x,y)是抛物线y=-x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标;

(3)若点E在抛物线y=-x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值.

【答案】(1) y=x+3;(2)P();(3)

【解析】

试题分析:(1)将A、B两点坐标代入y=kx+b中,求出k、b的值;(2)作出点P到直线AB的距离后,由于AHC=90°,考虑构造K形相似,得到MAH、OBA、NHP三个三角形两两相似,三边之比都是345.由可得,整理可得d关于x的二次函数,配方可求出d的最小值;(3)如果点C关于直线x=1的对称点C′,根据对称性可知,CE=C′E.当C′FAB时,CE+EF最小.

试题解析:

解:(1)y=kx+b经过A(-4,0)、B(0,3),

,解得k=b=3.

y=x+3.

(2)过点P作PHAB于点H,过点H作x轴的平行线MN,分别过点A、P作MN的垂线段,垂足分别为M、N.

设H(mm+3),则M(-4,m+3),N(x,m+3),P(x,-x2+2x+1).

PHAB,∴∠CHN+AHM=90°AMMN,∴∠MAH+AHM=90°

∴∠MAH=CHN,∵∠AMH=CNH=90°∴△AMH∽△HNP.

MAy轴,∴△MAH∽△OBA.∴△OBA∽△NHP.

整理得:,所以当x=,即P()

(3)作点C关于直线x=1的对称点C′,过点C′作C′FAB于F.过点F作JKx轴,,分别过点A、C′作JJK于点J,C′KJK于点K.则C′(2,1)

设F(m,m+3)

C′FAB,AFJ+CFK=90°CKJK,∴∠CCFK=90°

∴∠CAFJ,∵∠J=K=90°∴△AFJ∽△FCK.

,解得m=或-4(不符合题意).

F(),C′(21),FC

CE+EF的最小值=C′E=

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