Question

9．如图，一次函数y=-x+4的图象与反比例y=$\frac{k}{x}$（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求PA+PB的最小值．

Answer 1

分析 （1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，然后根据勾股定理即可求得．

解答 解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，
得a=-1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=$\frac{3}{x}$，
两个函数解析式联立列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点B坐标（3，1）；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB=PA+PD=AD的值最小，
∴D（3，-1），
∵A（1，3），
∴AD=$\sqrt{（3-1）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PA+PB的最小值为2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；轴对称-最短路线问题；解题关键在于点的坐标的灵活运用．