Question

1．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC-CD-DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm²）．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量取值的范围；
（2）在所给的坐标中画出（1）中所求的函数图象的草图（无需列表）；
（3）当△BPQ的面积为2cm²时，求运动时间是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式；
（2）根据函数关系式作出图象；
（3）结合（1）张的函数关系式求运动时间．

解答 解：（1）由题意可得BQ=x．
①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=$\frac{1}{2}$BP•BQ，即y=$\frac{1}{2}$•3x•x=$\frac{3}{2}$x²；
②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=$\frac{1}{2}$BQ•BC，即y=$\frac{1}{2}$•x•3=$\frac{3}{2}$x；
③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9-3x，则△BPQ的面积=$\frac{1}{2}$AP•BQ，即：y=$\frac{1}{2}$•（9-3x）•x=$\frac{9}{2}$x-$\frac{3}{2}$x²；
综上所述：y关于x的函数关系式是：y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{x}^{2}（0≤x≤1）}\\{\frac{3}{2}x（1＜x≤2）}\\{-\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{9}{2}x（2＜x≤3）}\end{array}\right.$；

（2）结合（1）中的函数关系式得到函数图象为：
；

（3）结合（3）中的函数图象知，当y=2时，y与x的函数图象为直线，则由（1）知：2=$\frac{3}{2}$x，
解得x=$\frac{4}{3}$．
答：当△BPQ的面积为2cm²时，运动时间是$\frac{4}{3}$s．

点评 本题考查了四边形综合题．涉及到了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，涉及到有关于动点的问题时，需要分类讨论，以防漏接或者错解．解答该题时，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．