Question

如图，抛物线y=ax²-2x+c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）⊙M是过A、B、C三点的圆，连接MC、MB、BC，求劣弧CB的长；（结果用精确值表示）
（3）点P为抛物线上的一个动点，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的点P的坐标．（结果用精确值表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根据直线的解析式求出A、B两点的坐标，然后将两点的坐标代入抛物线中即可得出抛物线的解析式．
（2）求弧长需要知道两个条件：圆的半径和弧所对的圆心角，圆心角可通过求∠OAB的度数来得出．而半径的长可通过∠CMB的度数和BC的长来求出．然后根据弧长计算公式即可得出劣弧CB的长．
（3）可先求出△ACD的面积，然胡根据两三角形的面积比求出△APC的面积．△APC中，AC的长为定值，因此可根据△APC的面积求出P点的纵坐标的绝对值，然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P的坐标．
解答：解：（1）把x=0和y=0分别代入y=x-3，
得当x=0时，y=-3；
当y=0时，x=3．
∴A（3，0），B（0，-3）．
把x=0时，y=-3；当y=0时，x=3代入y=ax²-2x+c，
得，
解得：，
∴y=x²-2x-3．

（2）当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴C（-1，0）
∴AC=4，BC=．
∵OA=OB=3，
∴∠CAB=45°，
∴∠CMB=90度．
∴MB=MC=
∴的长是π．

（3）∵y=x²-2x-3的对称轴是x=-=1，
当x=1时，y=-4，
∴D（1，-4）．
∴S_△ACD=×4×4=8，
∴S_△APC=10．
设存在点P（x，y），
∴|y|=5．
∴y=5时，x²-2x-3=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
当y=-5时，P点不在抛物线上，
∴P₁（4，5），P₂（-2，5）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理、弧长的计算公式等知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．