Question

3．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价为3元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=-x²+x+1，如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费．  
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式．  
（2）如果投入广告费为0～3万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
（3）在（2）中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大？是多少？

Answer 1

分析 （1）根据：年利润=（售价-进价）×年销售量-每年的广告费，可列函数解析式；
（2）将（1）中函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得答案；
（3）由（2）中顶点式即可得最值情况．

解答 解：（1）S=（3-2）×10y-x
=-10x²+10x+10-x
=-10x²+9x+10；

（2）∵S=-10x²+9x+10=-10（x-$\frac{9}{20}$）²+$\frac{481}{40}$，
∴当0＜x＜$\frac{9}{20}$时，S随x的增大而增大，
答：广告费在0～$\frac{9}{20}$范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大；

（3）由（2）知，当x=$\frac{9}{20}$时，S取得最大值，为$\frac{481}{40}$万元，
答：投入的广告费为$\frac{9}{20}$万元时，公司获得的年利润最大，是$\frac{481}{40}$万元．

点评 本题主要考查二次函数的应用，根据题意找到题目蕴含的相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．