Question

设x＞0，试比较代数式x³和x²+x+2的值的大小．

Answer 1

当x=2时，x³=x²+x+2；当0＜x＜2时，x³＜x²+x+2；当x＞2时，x³＞x²+x+2

解析试题分析：分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．然后做减法，因式分解后，讨论得解．
解：设x=0，
则x³＜x²+x+2．①
设x=10，则有x³=1000，x²+x+2=112，
所以x³＞x²+x+2．②
设x=100，则有x³＞x²+x+2．
观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x³＜x²+x+2；当x值较大时，x³＞x²+x+2．
那么自然会想到：当x=？时，x³=x²+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．
为此，设x³=x²+x+2，则
x³﹣x²﹣x﹣2=0，
（x³﹣x²﹣2x）+（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x²+x+1）=0．
因为x＞0，所以x²+x+1＞0，所以x﹣2=0，所以x=2．这样
（1）当x=2时，x³=x²+x+2；
（2）当0＜x＜2时，因为
x﹣2＜0，x²+x+1＞0，
所以（x﹣2）（x²+x+1）＜0，
即x³﹣（x²+x+2）＜0，
所以，x³＜x²+x+2．
（3）当x＞2时，因为
x﹣2＞0，x²+x+1＞0，
所以（x﹣2）（x²+x+1）＞0，
即x³﹣（x²+x+2）＞0，
所以x³＞x²+x+2．
综合归纳（1），（2），（3）就得到本题的解答．
考点：因式分解的应用．
点评：本题考查因式分解的应用，关键是找到比较大小的临界点，然后讨论求解．