Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．

（1）求证：AD2＝DPPC；

（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形PMBN是菱形；理由见解析；（3）.

【解析】

（1）过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD＝PG，DP＝AG，GB＝PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2＝AGGB，即AD2＝DPPC；

（2）DP∥AB，所以∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，所以∠PAM＝∠APM，由于∠APB∠PAM＝∠APB∠APM，即∠ABP＝∠MPB，从而可知PM＝MB＝AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；

（3）由于AD＝3DP，可设设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，从而求出BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得＝，＝，从而可求出EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，从而可得＝＝．

（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：

则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，

∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，

∵∠APB＝90°，

∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，

∴∠APG＝∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴＝，

∴PG2＝AGBG，

即AD2＝DPPC；

（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∵BM∥PN，BN∥MP，

∴四边形PMBN是平行四边形，

∵DP∥AB，

∴∠DPA＝∠PAM，

由题意可知：∠DPA＝∠APM，

∴∠PAM＝∠APM，

∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，

即∠ABP＝∠MPB

∴AM＝PM，PM＝MB，

∴PM＝MB，

∴四边形PMBN是菱形；

（3）解：∵AD＝3DP，

∴设DP＝1，则AD＝3，

由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，

∵PG2＝AGBG，

∴32＝1BG，

∴BG＝PC＝9，

AB＝AG+BG＝10，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴＝＝，

∴＝，

∵PM＝MB，

∴∠MPB＝∠MBP，

∵∠APB＝90°，

∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，

∴∠APM＝∠MAP，

∴PM＝MA＝MB，

∴AM＝AB＝5，

∵AB∥CD，

∴△PCE∽△MAE，

∴＝＝，

∴＝，

∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，

∴＝＝．