Question

如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的点，F是AC延长线上一点，连接BF，过C作⊙O的切线CE交BF于E，且CE⊥BF．
（1）求证：AC=CF；
（2）若CF=2，D在直径AB上，AC=AD，∠CAB=30°，CD延长线交⊙O于M，求CM的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥BF，
∴OC∥BF，
∵OA=OB，
∴AC=CF；

（2）解：连接BC，作直径CN，连接MN，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=CF=2，∠CAB=30°，
∴AB==4，
即CD=4，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB=30°，
∵∠CAD=30°，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∴∠NCM=75°-30°=45°，
∵CN是直径，
∴∠CMN=90°，
在Rt△CMN中，cos45°=，
CM=2．
分析：（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CE，推出OC∥BF，根据平行线分线段成比例定理推出即可；
（2）连接BC，作直径CN，连接MN，求出∠ACD=30°，∠ACD=75°，求出∠MCN=45°，求出直径AB，得出CD长，在Rt△CMN中得出cos45°=，求出即可．
点评：本题考查了切线性质，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．