Question

贾宪三角如图，最初于11世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪的著作中．这一成果比国外领先600年！这个三角形的构造法则是：两腰都是1，其余每个数为其上方左右两数之和．它给出（a+b）ⁿ（n为正整数）展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a+b）²=a²+2ab+b²的展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展开式中的系数；等等．

（1）请根据贾宪三角直接写出（a+b）⁴、（a+b）⁵的展开式：（a+b）⁴=______．（a+b）⁵=______．
（2）请用多项式乘法或所学的乘法公式验证你写出的（a+b）⁴的结果．

Answer 1

解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；
（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；
（2）（a+b）⁴=（a+b）²•（a+b）²
=（a²+b²+2ab）（a²+b²+2ab）
=a⁴+a²b²+2a³b+a²b²+b⁴+2ab³+2a³b+2ab³+4a²b²
=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴．
故答案为：（1）a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴；a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
分析：（1）根据系数规律，由题意展开即可；
（2）利用多项式乘以多项式，以及完全平方公式计算，即可得到结果．
点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．