Question

（本题满分14分，其中第（1）题4分，第（2）题的第?、?小题分别为4分、6分）
如图1，在△ABC中，已知AB=15，cosB=，tanC=．点D为边BC上的动点（点D不与B、C重合），以D为圆心，BD为半径的⊙D交边AB于点E．

（1）设BD=x，AE=y，求与的函数关系式，并写出函数定域义；
（2）如图2，点F为边AC上的动点，且满足BD=CF，联结DF．
①当△ABC和△FDC相似时，求⊙D的半径；
② 当⊙D与以点F为圆心，FC为半径⊙F外切时，求⊙D的半径．

Answer 1

（1）y=-x+15  定义域0﹤x≦.(2)①⊙D的半径为或，②⊙D的半径为。

试题分析：解：（1）过点D作DG⊥BE，垂足为E
∵DG过圆心，∴BE=2BG     （1分）
在Rt△DGB中，cosB=，∵BD=x，∴BG=　    （1分）
∴BE=，∵AB=15，∴y=15-     （1分）
定义域为0<x≤　     （1分）
（2）①过点A作AH⊥BC，垂足为H
在Rt△ADH中，cosB=
∵AB=15，∴BH=9，∴AH=12     （1分）
在Rt△AHC中，tanC=
∴HC=5，∴BC=14         （1分）
设BD=x，则CF=，DC=14-x
∵∠C=∠C，∴当△ABC和△FDC相似时，有
（ⅰ），即，x=，∴BD=     （1分）
（ⅱ），即，x=，∴BD=    （1分）
∴当△ABC和△FDC相似时，⊙D的半径为或
②过点F作FM⊥BC，垂足为M
在Rt△FMC中，tanC=    （1分）
∴sinC=，∵CF=，∴FM=，MC=    （1分）
∴DM=14-x-=14-        （1分）
∴DF=   （1分）
∵⊙D与⊙F外切，∴DF=    （1分）
∴=，解得x₁=，x₂=(舍去)
即BD=    （1分）
∴当⊙D与⊙F外切时，⊙D的半径为．
点评：本题综合性很强，涉及到的概念性质定理很多，计算又多，很容易出错，相关的知识点错综复杂，还有动点的问题，对学生的要求极高，要善于领会已知条件，及图像的变换过程，把握住已知条件，从基础入手，逐步的进行解答。题中说的定义域即是函数中自变量x的取值范围，本题属于难题，中考时一般以大题的形式出现。