Question

【题目】如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．

（1）当t=1时，求线段DP的长；
（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；
（3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，

当t=1时，AP=1，则OP=3，

∵PD⊥y轴，AB⊥y轴，

∴PD∥AB，

∴ ，

∴ = ，

∴DP=

（2）

解：如图2，

∵运动的时间为t秒，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，

∴CQ=2t，

∴AP=t，OP=4﹣t，

作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4﹣t，

∴S= ×CQ×DE= ×2t×（4﹣t）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

当t=2时，S最大值=4

（3）

解：如图3，分两种情况讨论：

①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动（当t=3时，△ODQ不存在），

∵AB∥CO，

∴∠BOC=∠ABO＜∠ABC，

可证得BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA，

∵AB∥CO，

∴∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC，

∴当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似；

②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动，

延长AB，

∵AB∥CO，

∴∠FBC=∠BCO=∠BOC，

∴∠ABC=∠DOQ OQ=2t﹣6，

由DP∥AB可得OD= ，

当 时， = ，t= ；

当 时， = ，t= ；

∴存在t= 和t= ，使△ODQ与△ABC相似．

【解析】（1）先由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）得出OA=4，AB=3，CO=6，再根据当t=1时，AP=1，则OP=3，再证出 ，最后代入计算即可，（2）先作DE⊥CO于点E，根据DE=OP=4﹣t得出S= ×CQ×DE=﹣t2+4t，从而求出当t=2时，S有最大值，（3）分两种情况讨论：①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动，根据AB∥CO得出∠BOC=∠ABO＜∠ABC，证得BO=BC从而得出∠BOC=∠BCO＞∠BCA，根据AB∥CO得出∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC从而证出当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似；②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动，延长AB，根据AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ，OQ=2t﹣6，再由DP∥AB可得OD= ，最后根据 和 时，分别进行计算，求出t的值，即可得出答案．