Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，AD=DC=CB=2，点P是AD上一动点，点Q是线段AB上一动点且AP=AQ，在等腰梯形ABCD内以PQ为一边作矩形PQMN，点N在CD上．设AQ=x，矩形PQMN的面积为y．
（1）求等腰梯形ABCD的面积；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，矩形PQMN是正方形；
（4）矩形PQMN面积最大时，将△PQN沿NQ翻折，点P的对应点为点P’，请判断此时△BMP’的形状．

Answer 1

解：（1）过C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，
∵DC∥AB，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD=2，AD=CE=BC，∠A=∠CEB=60°，
∴△CEB是等边三角形，
∴BE=CE=2，
∴AB=4，BF=EF=1，
由勾股定理得：CF=，

．

（2）如图（2）：
由题知，AP=AQ=x，∠A=60°，△APQ为等边三角形，
则PQ=x，
∵∠NPQ=90°，∠APQ=60°，
∴∠DPN=30°，
又∠D=120°，
∴∠DNP=30°，
则DP=DN=2-x，
作DE⊥PN于点E，
在Rt△DPE中，DP=2-x，∠DPE=30°，
则，
∵DP=DN，DE⊥PN，
则PN=，
，
∴y与x的函数关系式是y=-x²+2x．

（3）由题意得，PQ=PN，
∴，
，
∴当x=3-时，矩形PQMN是正方形．

（4），
当x=1时，，
∠AQP=60°，
∠PQN=60°，
∠NQB=60°，
∴P′在AB上，
又QP=QP′=1，
∴AP′=2，
MP′=P′Q=1，BP′=2，
过M作MH⊥AB于H，连接QN，
∵MN=2，MQ=，
∴由勾股定理得：QN=2，∠NQM=30°，
∴∠MQB=60°-30°=30°，
∴MH=，QH=，
∴BH=4-1-=，
由勾股定理得：BM=，
在Rt△BMQ中，，
∴△BMP′为直角三角形．
分析：（1）过C作CE∥AD交AB于E，CF⊥AB于F，根据平行四边形的性质和判定求出AE、CE，得出等边三角形CEB，求出高SF的长即可；
（2）根据等边三角形的性质和判定求出PQ=x，DP=2-x，作DE⊥PN于点E，求出∠DPE=30°，求出DE，根据勾股定理求出PN，根据面积公式求出即可；
（3）根据正方形的性质得出PQ=PN，代入求出x即可；
（4）求出x值，根据x的值求出∠AQP=∠PDN=∠BQN=60°，过M作MH⊥AB于H，连接QN，求出MH、BM、P′M、BP′的值，根据勾股定理的逆定理求出即可．
点评：本题综合考查了等腰梯形的性质，矩形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，二次函数的最值，翻折变换，正方形的判定等知识点的应用，此题是一道难度较大的题目，综合性比较强，对学生提出了较高的要求，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力．