Question

15．（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．
求证△BEC≌△CDA；
（2）模型应用：
①已知直线y=$\frac{4}{3}$x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；
②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-6上的一点，若△APD是不以A为直角顶点的等腰Rt△，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得∠EBC=∠ACD，利用AAS可证明△BEC≌△CDA；
（2）①过C作CD⊥x轴于点D，由直线解析式可求得A、B的坐标，利用模型结论可得CE=BO，BE=AO，从而可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；②分三种情况考虑：如图2所示，当∠ADP=90°时，AD=PD，设D点坐标为（x，2x-6），利用三角形全等得到x+6-（2x-6）=8，得x=4，易得D点坐标；如图3所示，当∠APD=90°时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），表示出D点坐标为（14-m，m+8），列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；如图4所示，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理求出D的坐标．

解答 解：
（1）∵∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠ACD，
在△BEC和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACD}\\{∠E=∠D}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CDA（AAS）；

（2）①如图1，过C作CD⊥x轴于点D，

在y=$\frac{4}{3}$x+4中，令y=0可求得x=-3，令x=0可求得y=4，
∴OA=4，OB=3，
同（1）可证得△CDB≌△BAO，
∴CD=BO=3，BD=AO=4，
∴OD=4+3=7，
∴C（-7，3），且A（0，4），
设直线AC解析式为y=kx+4，把C点坐标代入可得-7k+4=3，解得k=$\frac{1}{7}$，
∴直线AC解析式为y=$\frac{1}{7}$x+4；
②如图2，当∠ADP=90°时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；

如图3，当∠APD=90°时，AP=PD，

设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14-m，m+8），由m+8=2（14-m）-6，得m=$\frac{14}{3}$，
∴D点坐标（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）；
如图4，当∠ADP=90°时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$），

综上可知满足条件的点D的坐标分别为（4，2）或（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．