Question

已知：在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD，在DA的延长线上任取一点E，连接EC，作∠ECF=

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∠BCD，使CF与AB的延长线交于F、连接EF，请画出完整图形，探究：线段BF、EF、ED之间具有怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：在DE上截取DM=BF，由∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD，根据角平分线性质得到CB=CD，利用等角的余角相等得到∠ACB=∠ACD，然后根据“HL”得到Rt△CBF≌Rt△CDM，则∠1=∠2，CF=CM，由∠ECF=

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∠BCD得∠ECF=∠ACB=∠ACD，则∠3=∠1=∠2，所以∠ECF=∠ECM，再利用“SAS”判断△ECF≌△ECM，则EF=EM，于是EF=ED-MD，所以EF+BF=ED．

解答：解：BF+EF=ED．理由如下：
如图，在DE上截取DM=BF，
∵∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC平分∠BAD，
∴CB=CD，∠ACB=∠ACD，
∵在Rt△CBF和Rt△CDM中，

CB=CD BF=MD

，
∴Rt△CBF≌Rt△CDM（HL），
∴∠1=∠2，CF=CM，
∵∠ECF=

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∠BCD，
∴∠ECF=∠ACB=∠ACD，
∴∠3=∠1=∠2，
∴∠ECF=∠ECM，
∵在△ECF和△ECM中，

EC=EC ∠ECF=∠ECM CF=CM

，
∴△ECF≌△ECM（SAS），
∴EF=EM，
∴EF=ED-MD，即EF+MD=ED，
∴EF+BF=ED．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了角平分线的性质．