Question

如图所示，△ABC中，D为AC上一点，CD＝2DA，∠BAC＝，∠BDC＝，CE⊥BD，E为垂足，连接AE (1) 写出图中所有相等的线段，并加以证明 (2) 图中有无相似三角形?若有，请写出一对；若没有，请说明理由 (3) 求△BEC与△BEA的面积之比.

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：EC＝EA＝EB，DE＝DA．因为∠DEC＝，∠BDC＝，所以∠DCE＝，因而DE＝CD＝DA，所以∠DEA＝∠DAE．又因为∠EDC＝∠DEA＋∠DAE＝，所以∠DAE＝∠DEA＝．又因为∠BAC＝，所以∠EAB＝∠BAC－∠DAE＝而∠DEA＝∠EAB＋∠EBA，所以∠EBA＝∠DEA－∠EAB＝，所以∠EBA＝∠EAB，因此EA＝EB．因为∠DCE＝∠DAE＝，所以EC＝EA，所以EC＝EA＝EB． 　　解题指导：首先利用直角三角形中．角所对的直角边是斜边的一半得到DE＝DA，再根据等角对等边求出其他相等的线段
(2)	△ADE∽△CEA或△BCD∽△ACB 　　解题指导：由两组对角相等易推出相似的三角形
(3)	过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于点F．(如图所示) 　　则∠AFD＝∠CED＝，而∠ADF＝∠CDE，所以△CED∽△AFD，所以，所以 　　解题指导：△BEC与△BEA是等底的两个三角形，只要求出它们相应高的比，即可得到面积的比