如图.∠A=45°.∠ABC=60°.AB∥MN.BH⊥MN于点H.BH=8.点C在MN上.点D在AC上.DE⊥MN于点E.半圆的圆心为点O.直径DE=6.G为$\widehat{DE}$的中点.F是$\widehat{DE}$上的动点．发现:CF的最小值是6.CF的最大值为3$\sqrt{5}$+3．探究:沿直线MN向右平移半圆．(1)当G落在△ABC的边上时.区域半圆与△ABC重合部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，∠A=45°，∠ABC=60°，AB∥MN，BH⊥MN于点H，BH=8，点C在MN上，点D在AC上，DE⊥MN于点E，半圆的圆心为点O，直径DE=6，G为$\widehat{DE}$的中点，F是$\widehat{DE}$上的动点．
发现：
CF的最小值是6，CF的最大值为3$\sqrt{5}$+3．
探究：
沿直线MN向右平移半圆．
（1）当G落在△ABC的边上时，区域半圆与△ABC重合部分的面积；
（2）当点E与点H重合时，求半圆在BC上截得的线段长；
（3）当半圆与△ABC的边相切时，求CE的长．

分析发现：①当F与E重合时，CF的最小值为CE的长=6．②当CF经过圆心时，CF的长最大；
探究：（1）分两种情形①如图2中，当点G落在AC边上时，点E与C重合，连接OG，半圆与△ABC重合部分的面积=△OCG的面积+扇形ODG的面积；
②如图3中，当点G落在BC上，重叠部分的面积=扇形OGS的面积-△OGS的面积；
（2）点E与H重合时，BH=8，OE=3，BO=5，设BC交半圆于R、T，OP⊥RT于点P，则PT=PR，求出RT的长即可；
（3）①如图5中，当半圆与AC相切时，设切点为K，则CK=CE，作KU⊥DE于U，根据CE=LE-LC，求出LE，LC即可；
②如图6中，当半圆与BC相切时，设切点为W，连接OW，则CE=CW，在Rt△COE中，解直角三角形即可；

解答解：发现：如图1中，

①当F与E重合时，CF的最小值为CE的长=6．
②当CF经过圆心时，CF的长最大，
最大值=OC+OF=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$+3=3$\sqrt{5}$+3．
故答案为6，3$\sqrt{5}$+3．

探究：（1）如图2中，当点G落在AC边上时，点E与C重合，连接OG，

∵G为$\widehat{DE}$的中点，则∠DOG=∠GOC=90°，半圆与△ABC重合部分的面积$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•π•3²+$\frac{1}{2}$•3•3=$\frac{9}{4}$π+$\frac{9}{2}$．
如图3中，当点G落在BC上，

∵OG∥MN，
∴∠BGO=∠BCE=60°，设BC交半圆另一个点为S，连接OS，
∵OS=OG，
∴△OSG是等边三角形，
∴半圆与△ABC重叠部分的面积为$\frac{60}{360}$•π•3²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²=$\frac{3}{2}$π-$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．

（2）点E与H重合时，BH=8，OE=3，BO=5，设BC交半圆于R、T，OP⊥RT于点P，则PT=PR，

∵∠CBE=30°，
∴OP=$\frac{5}{2}$，
连接OR，则RP=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
∴RT=2PR=$\sqrt{11}$．

（3）①如图5中，当半圆与AC相切时，设切点为K，则CK=CE，作KU⊥DE于U，

∵∠KOE=45°，OK=3，
∴KU=OU=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，EU=3-$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
作KL⊥MN于L，可得KL=EU，
∵∠KCL=45°，∴LC=KL=EU，
∴CE=OU-EU=3$\sqrt{2}$-3．
②如图6中，当半圆与BC相切时，设切点为W，连接OW，则CE=CW，

∵OW=OE，
∴∠OCE=∠OCM=30°，
∵OE=3，
∴tan30°=$\frac{3}{OE}$，
∴CE=3$\sqrt{3}$．

点评本题考查圆综合题、平移变换、直线与圆的位置关系、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的扇形思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

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