Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD、CE．

（1）求证：△ACD≌△EDC；

（2）若点D是BC中点，说明四边形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.

【解析】（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．

证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形
∴AB∥DE，AB=DE；∴∠B=∠EDC；
又∵AB=AC，∴AC=DE，∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ACD
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形
∴BD∥AE，BD=AE，∴AE∥CD；
又∵BD=CD，∴AE=CD（等量代换）
∴四边形ADCE是平行四边形；
在△ABC中，
AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．