Question

15．如图，△ABC为等边三角形，点P是边AC的延长线上一点，连接BP，作∠BPQ等于60°，直线PQ与直线BC交于点N．
（1）若点C平分AP时，求证：PB=PN；
（2）若点C 不平分时，求证：AP•PC=AB•CN；
（3）若BC=2，CN=$\frac{3}{2}$，求∠N的正切值．

Answer 1

分析 （1）首先利用等边三角形的性质和已知条件证出∠CPB=∠N，再证出BC=PC，由等腰三角形的性质得出∠PBC=∠CPB，因此∠PBC=∠N，即可得出结论；
（2）证明△PAB∽△NCP，得出对应边成比例，即可得出结论；
（3）过点P作PD⊥CN于点D，利用（1）中的结论可求出PC的长，再根据勾股定理可求出PD，进而得到DN，利用正切的定义即可求出∠N的正切值．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，BC=AC，
∴∠PCN=∠A=60°，
∵∠ACB=∠CBP+∠CPB=60°，∠BPQ=∠PBN+∠N=60°
∴∠CPB=∠N，
∵点C平分AP，
∴AC=PC，
∴BC=PC，
∴∠PBC=∠CPB，
∴∠PBC=∠N，
∴PB=PN；
（2）证明：由（1）得：∠PCN=∠A=60°，∠CPB=∠N，
∴△PAB∽△NCP，
∴$\frac{AP}{CN}=\frac{AB}{PC}$，
∴AP•PC=AB•CN；
（3）解：过点P作PD⊥CN于点D，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，
由（1）知，AP•CP=AB•NC，
∴（PC+2）×PC=2×$\frac{3}{2}$，
整理得：PC²+2PC-3=0，
∴PC=1或PC=-3（舍去），
在Rt△PCD中，∠PDC=90°，∠PCD=60°
∴∠CPD=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$CP=$\frac{1}{2}$，
由勾股定理得：PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DN=CN-CD=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=1，
在Rt△NDP中，∠PDN=90°，tan∠N=$\frac{PD}{ND}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题是相似形综合题目，考查了等边三角形性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和正切的定义等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．