Question

已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．

（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；

（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，

∴AC、BD是⊙O的直径，

∴∠DAB=∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∵AD=CD，

∴四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD；

（2）作直径DE，连接CE、BE．

∵DE是直径，

∴∠DCE=∠DBE=90°，

∴EB⊥DB，

又∵AC⊥BD，

∴BE∥AC，

∴弧CE=弧AB，

∴CE=AB．

根据勾股定理，得

CE²+DC²=AB²+DC²=DE²=20，

∴DE=，

∴OD=，即⊙O的半径为．