Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D地边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上。

（1）求证：△ADE≌△BGF；

（2）若正方形DEFG的面积为16cm，求AC的长。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠B=∠A=45°。   

∵四边形DEFG是正方形，∴∠BFG=∠AED=90°。

∴∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED。

∵在△ADE与△BGF中，，

∴△ADE≌△BGF（ASA）。

（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵正方形DEFG的面积为16cm²，∴DE=AE=4cm。

∴AB=3DE=12cm。

∵△ABC是等腰直角三角形，CG⊥AB，

∴AG=AB=×12=6cm。

在Rt△ADE中，∵DE=AE=4cm，

∴（cm）。

∵CG⊥AB，DE⊥AB，∴CG∥DE。∴△ADE∽△ACG。

∴，即，解得cm。

【解析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠A=45°，再根据四边形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED，故可得出∠BGF=∠ADE=45°，GF=ED，由全等三角形的判定定理即可得出结论。

（2）过点C作CG⊥AB于点G，由正方形DEFG的面积为16cm2可求出其边长，故可得出AB的长，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求出AD的长，再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG，由相似三角形的对应边成比例即可求出AC的长。