分析 (1)如图①,先利用勾股定理计算出AB=5,再根据旋转的性质得BA=BA′,∠ABA′=90°,则可判定△ABA′为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长;
(2)作O′H⊥y轴于H,如图②,利用旋转的性质得BO=BO′=3,∠OBO′=120°,则∠HBO′=60°,再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长,然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标;
(3)由旋转的性质得BP=BP′,则O′P+BP′=O′P+BP,作B点关于x轴的对称点C,连结O′C交x轴于P点,如图②,易得O′P+BP=O′C,利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小,接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x-3,从而可得P点坐标;
解答 解:(1)如图①,
∵点A(4,0),点B(0,3),
∴OA=4,OB=3,
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
∵△ABO绕点B逆时针旋转90°,得△A′BO′,
∴BA=BA′,∠ABA′=90°,
∴△ABA′为等腰直角三角形,
∴AA′=$\sqrt{2}$BA=5 $\sqrt{2}$;
(2)作O′H⊥y轴于H,如图②,
∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A′BO′,
∴BO=BO′=3,∠OBO′=120°,
∴∠HBO′=60°,
在Rt△BHO′中,∵∠BO′H=90°-∠HBO′=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BO′=$\frac{3}{2}$,O′H=$\sqrt{3}$BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴OH=OB+BH=3+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$,
∴O′点的坐标为( $\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{9}{2}$);
(3)∵△ABO绕点B逆时针旋转120°,得△A′BO′,点P的对应点为P′,
∴BP=BP′,
∴O′P+BP′=O′P+BP,
作B点关于x轴的对称点C,连结O′C交x轴于P点,如图②,
则O′P+BP=O′P+PC=O′C,此时O′P+BP的值最小,
∵点C与点B关于x轴对称,
∴C(0,-3),
设直线O′C的解析式为y=kx+b,
把O′( $\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{9}{2}$),C(0,-3)代入得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}}{2}k+b=\frac{9}{2}}\\{b=-3}\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5\sqrt{3}}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$,
∴直线O′C的解析式为y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x-3,
当y=0时,$\frac{5\sqrt{3}}{3}$x-3=0,解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$,
∴P( $\frac{3\sqrt{3}}{5}$,0).
点评 本题考查了几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、一次函数的应用、勾股定理、直角三角形30度角性质等知识,解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决最短路径问题,学会构建一次函数解决交点坐标问题,属于中考压轴题.
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A. | 3 | B. | 6 | C. | 12 | D. | 24 |
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