Question

1．如图，二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）图象的顶点为D，与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y轴交于点C（0，3），且OA=3OB，∠ACD=90°
（1）求该二次函数的关系式；
（2）若⊙M经过A、C、D三点，试求点B到⊙M的切线长．

Answer 1

分析 （1）过点D作DE⊥y轴于E，根据点C的坐标求出c，设点B的坐标为（m，0），表示出点A的坐标，然后根据交点式解析式y=a（x-m）（x+3m）求出顶点D的坐标，再表示出DE、EC，然后判断出△DEC和△COA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出a，再求出m，整理即可得解；
（2）过点D作DF⊥轴于F，AD的中点即为M，根据二次函数的解析式求出点A、D的坐标，然后求出点M的坐标，再利用勾股定理列式求出AD，从而得到r，然后利用勾股定理列式计算即可求出切线长．

解答 解：（1）如图，过点D作DE⊥y轴于E，
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴c=3，
∴y=ax²+bx+3，
设点B（m，0）（m＞0），
∵OA=3OB，
∴A（-3m，0），
∴y=a（x-m）（x+3m）=a（x²+2mx-3m²）=a（x+m）²-4am²，
∴-3am²=3，D（-m，-4am²），
∴DE=m，EC=-4am²-3=-am²，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠DCE=∠CAO，
又∵∠AOC=∠CED=90°，
∴△DEC∽△COA，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{CO}{OA}$，
即$\frac{m}{-a{m}^{2}}$=$\frac{3}{3m}$，
解得a=-1，
∴-3×（-1）m²=3，
解得m=1，
∴y=-x²-2x+3；

（2）过点D作DF⊥轴于F，
∵∠ACD=90°，
∴AD的中点即为M，
由（1）得，A（-3，0），D（-1，4），
∴点M（-2，2），
∴BM=$\sqrt{（1+2）^{2}+（0-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
股定理得，AD=$\sqrt{（-1+3）^{2}+{（4-0）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴r=$\sqrt{5}$，
∴点B到⊙M的切线长=$\sqrt{B{M}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线长，难点在于（1）利用交点式解析式表示出二次函数解析式并利用相似三角形对应边成比例列出比例式，（2）判断出AD的中点为圆心M是解题的关键．