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    如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，
    （1）直接写出四个结论：
    ①
    ∠APC=∠PAB+∠PCD
    ∠APC=∠PAB+∠PCD
    ；
    ②
    ∠PAB+∠APC+∠PCD=360°
    ∠PAB+∠APC+∠PCD=360°
    ；
    ③
    ∠PAB=∠APC+∠PCD
    ∠PAB=∠APC+∠PCD
    ；
    ④
    ∠PCD=∠PAB+∠APC
    ∠PCD=∠PAB+∠APC
    ；
    （2）请你从所得到的关系中任选一个加以说明．
    分析：（1）①过点P作PE∥AB，利用平行线的性质，易得∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD；
    ②过点P作PE∥AB，利用平行线的性质，易得∠PAB=∠APC+∠1=∠APC+∠PAD；
    ③延长BA交PC于点E，利用平行线与三角形外角的性质，可求得答案；
    ④利用平行线与三角形外角的性质，可求得答案．
    （2）根据（1）中的结论，求解即可．
    解答：解：（1）①∠APC=∠PAB+∠PCD，
    过点P作PE∥AB，
    ∵AB∥CD，
    ∴PE∥AB∥CD，
    ∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
    ∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD；

    ②∠PAB+∠APC+∠PCD=360°．
    过点P作PE∥AB，
    ∵AB∥CD，
    ∴PE∥AB∥CD，
    ∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，
    ∴∠PAB+∠APC+∠PCD=360°；

    ③∠PAB=∠APC+∠PCD．
    延长BA，交PC于点E，
    ∵AB∥CD，
    ∴∠1=∠PCD，
    ∴∠PAB=∠APC+∠1=∠APC+∠PAD；

    ④∠PCD=∠PAB+∠APC，
    ∵AB∥CD，
    ∴∠1=∠PCD，
    ∴∠PCD=∠1=∠APC+∠PCD；
    故答案为：①∠APC=∠PAB+∠PCD，②∠PAB+∠APC+∠PCD=360°，③∠PAB=∠APC+∠PCD，④∠PCD=∠PAB+∠APC；

    （2）选择①．
    证明：过点P作PE∥AB，
    ∵AB∥CD，
    ∴PE∥AB∥CD，
    ∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，
    ∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD．
    点评：此题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    39、填写推理理由
    （1）已知：如图，D、F、E分别是BC、AC、AB上的点，DF∥AB，DE∥AC，试说明∠EDF=∠A．
    解：∵DF∥AB（
    已知
    ）
    ∴∠A+∠AFD=180°（
    两直线平行，同旁内角互补
    ）
    ∵DE∥AC（
    已知
    ）
    ∴∠AFD+∠EDF=180°（
    两直线平行，同旁内角互补
    ）
    ∴∠A=∠EDF（
    同角的补角相等
    ）

    （2）如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明AD∥BE．
    解：∵AB∥CD（已知）
    ∴∠4=∠
    BAF
    （
    两直线平行，同位角相等
    ）
    ∵∠3=∠4（已知）
    ∴∠3=∠
    BAF
    （
    等量代换
    ）
    ∵∠1=∠2（已知）
    ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（
    等式的性质
    ）
    即∠
    BAF
    =∠
    DAC

    ∴∠3=∠
    DAC
    （
    等量代换
    ）
    ∴AD∥BE（
    内错角相等，两直线平行
    ）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，AB∥CD，BO：OC=1：4，点E、F分别是OC、OD的中点，则EF：AB的值为（　　）
    A、1B、2C、3D、4

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，
    求证：MN+PQ=2PN．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，AB∥CD．
    （1）如果∠BAE=∠DCE=45°，求∠E的度数．请将下面解题过程补充完整．
    ∵AB∥CD（已知）精英家教网
    ∴∠BAC+∠DCA=180°（
     
    ）
    ∴∠EAC+∠BAE+∠ACE+∠DCE=180°∵∠BAE=∠DCE=45°（已知）
    ∴∠EAC+
     
    +∠ACE+
     
    =180°（
     
    ）
    ∴∠EAC+∠ACE=
     

    ∵∠EAC+∠ACE+∠E=180°（
     
    ）
    ∴∠E=180°-（
     
    ）=
     


    （2）如果AE、CE分别是∠BAC、∠DCA的平分线，（1）中的结论还成立吗？试说明理由．
    （3）如果AE、CE分别是∠BAC、∠DCA内部的任意射线．求证：∠AEC=∠BAE+∠DCE．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，AB∥CD，BO：CO=1：4，点E、F分别是OC、OD的中点，则AB：EF的值为（　　）

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