Question

【题目】已知△ABC中，AB=4，BC=5，AC的长是一元二次方程x2﹣15x+54=0的一个根．

（1）求AC的长；

（2）在AC上找一点D，连接BD，使△ABD∽△ACB；

（3）以AC为一边作一个三角形ACM，求出sin∠AMC的值．（所作三角形自己设计）

Answer 1

【答案】（1）AC=6；（2）见解析；当AD=时，△ABD∽△ACB；（3）sin∠AMC=．

【解析】

（1）解一元二次方程x2-15x+54=0，可得x1=6，x2=9，再根据三角形的三边关系，即可得到AC的范围，进而得出AC的长；
（2）依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AD的长，即可得出点D的位置；
（3）以AC为一边作一个等边三角形ACM，即可得到sin∠AMC的值，答案不唯一．

（1）解一元二次方程x2﹣15x+54=0，可得

x1=6，x2=9，

∵5﹣4＜AC＜5+4，

∴1＜AC＜9，

∵AC的长是一元二次方程x2﹣15x+54=0的一个根，

∴AC=6；

（2）如图所示，当△ABD∽△ACB时，

=，即AB2=AD×AC，

∴16=AD×6，

∴AD=，

∴当AD=时，△ABD∽△ACB；

（3）如图所示，以AC为一边作一个等边三角形ACM，则∠AMC=60°，

∴sin∠AMC=sin60°=．