Question

为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使定点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边
BC，AC上；又分别以AB，BC，AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？
（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的？

Answer 1

【答案】分析：（1）先解Rt△ABC，得出AC=12米，BC=36米，∠ABC=30°，再根据三角函数的定义求出AD=x，BE=x，然后根据AD+DE+BE=AB，列出y与x之间的关系式，进而求解即可；
（2）先根据矩形的面积公式得出DEFG的面积=xy，再将（1）中求出的y=24-x代入，得出矩形DEFG的面积=xy=-x²+24x，然后利用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；
（3）先证明两弯新月的面积=△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求出两弯新月的面积，然后根据矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的列出关于x的一元二次方程，解方程即可求解．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=24米，∠BAC=60°，
∴AC=AB=12米，BC=AC=36米，∠ABC=30°，
∴AD==x，BE==x，
∵AD+DE+BE=AB，
∴x+y+x=24，
∴y=24-x-x=24-x，
即y与x之间的函数解析式为y=24-x（0＜x＜18）；

（2）∵y=24-x，
∴矩形DEFG的面积=xy=x（24-x）=-x²+24x=-（x-9）²+108，
∴当x=9米时，矩形DEFG的面积最大，最大面积是108平方米；

（3）记AC、BC、AB为直径的半圆面积分别为S₁、S₂、S₃，两弯新月面积为S，
则S₁=πAC²，S₂=πBC²，S₃=πAB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃，
∴S₁+S₂-S=S₃-S_△ABC，
∴S=S_△ABC，
∴两弯新月的面积S=AC•BC=×12×36=216（平方米）．
如果矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的，
那么-（x-9）²+108=×216，
化简整理，得（x-9）²=27，
解得x=9±3，符合题意．
所以当x为（9±3）米时，矩形DEFG的面积及等于两弯新月面积的．
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，其中涉及到矩形的性质，解直角三角形，三角函数，勾股定理，二次函数的性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．利用数形结合及方程思想是解题的关键．