如图.在平面直角坐标系中.直线y=2x+4交X轴于点A.与y轴交于点B.过点B与AB垂直的直线交x轴于点D.点C为AD的中点.连接BC．(1)求直线BC的解析式．为线段CD上的一点.过点E作EP∥BC.交直线BD于点P.过点P作PQ∥x轴.交直线AB于点Q.交BC于点M.设线段PQ的长为d.求d与t之间的函数关系式(请直接写出自变量t的取值范围)．的条件下.是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交X轴于点A，与y轴交于点B，过点B与AB垂直的直线交x轴于点D，点C为AD的中点，连接BC．
（1）求直线BC的解析式．
（2）点E（t，0）为线段CD上的一点（不与C、D两点重合），过点E作EP∥BC，交直线BD于点P，过点P作PQ∥x轴，交直线AB于点Q，交BC于点M，设线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式（请直接写出自变量t的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t值，使得△PCM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据直线y=2x+4求得A、B的坐标，进而求得直线BD的解析式，从而求得D的坐标，根据已知求得C的坐标，然后应用待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（2）根据EP∥BC，求得

，

8-t

，根据PQ∥x轴，求得

8-t

，因为AD=10，即可求得d与t之间的函数关系式；
（3）分两种情况讨论即可求得．

解答：

解：（1）∵直线y=2x+4交X轴于点A，与y轴交于点B，
∴A（-2，0），B（（0，4），
∵AB⊥BD，
∴直线BD为：y=-

x+4，
∴D（8，0），
∵点C为AD的中点，
∴C（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则

4=b

o=3k+b

，
解得

k=-

b=4

．
∴直线BC的解析式为：y=-

x+4；

（2）如图1，∵EP∥BC，
∴

，
即

8-t

t-3

，
∴

8-t

，
∵PQ∥x轴，
∴

8-t

，
∵AD=10，PQ=d，
∴d=-2t+16（3＜t＜8）；

（3）存在；
如图2，当∠CPM=90°时，∵PQ∥AD，
∴PC⊥AD，
∴PC∥OB，
∴

，
∴

，
∵

，
∴

，解得：d=6，
代入d=-2t+16，得6=-2t+16，解得t=5，

如图3，当∠PCM=90°时，则∠PCE+∠BCO=90°，
∴△PCE∽△OBC，
∴

，
∵BC=

OB2+OC2

32+42

=5，CE=t-3，OC=3，
∴PE=

3t-9

，
∵PE∥BC，
∴

，
∴

8-t

3t-9

，解得：t=

；
所以当t=5或

时，使得△PCM是直角三角形．

点评：本题考查了直线与坐标轴的交点的求法，待定系数法求解析式，平行线分线段成比例定理的应用，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，本题的关键是（3）一定要考虑全面；

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