Question

【题目】如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．

（1）当点E在BD上时，求证：AF∥BD；

（2）当GC＝GB时，求θ；

（3）当AB＝10，BG＝BC＝13时，求点G到直线CD的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°或300°；（3）25或1

【解析】

（1）先运用SAS判定△FEA≌△DAB，可得∠AFE＝∠ADE＝∠DEF，即可得出AF∥BD；

（2）当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG＝60°，即可得到旋转角θ的度数．

（3）当BG＝BC时存在两种情况：画图根据勾股定理计算即可．

（1）由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，

∴∠AEB＝∠ABE，△FEA≌△DAB（SAS），

∴∠AFE＝∠ADB，

又∵∠ABE+∠EDA＝90°＝∠AEB+∠DEF，

∴∠EDA＝∠DEF，

∴∠DEF＝∠AFE，

∴AF∥BD；

（2）如图1，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：

①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，连接DG，

∵GC＝GB，

∴GH⊥BC，

∴四边形ABHM是矩形，

∴AM＝BH＝AD＝AG，

∴GM垂直平分AD，

∴GD＝GA＝DA，

∴△ADG是等边三角形，

∴∠DAG＝60°，

∴旋转角θ＝60°；

②当点G在AD左侧时，如图2，同理可得△ADG是等边三角形，

∴∠DAG＝60°，

∴旋转角θ＝360°﹣60°＝300°．

综上，θ的度数为60°或300°；

（3）有两种情况：

①如图3，当BG＝BC＝13时，过G作GH⊥CD于H，交AB于M，

∵AG＝BC＝BG，

∴AM＝BM＝5，

Rt△AMG中，由勾股定理得：MG＝＝＝12，

∵AB∥CD，

∴MH＝BC＝13，

∴GH＝13+12＝25，即点G到直线CD的距离是25；

②如图4，过G作MH⊥CD于H，交AB于M，

同理得GM＝12，

∴GH＝13﹣12＝1，即点G到直线CD的距离是1；

综上，即点G到直线CD的距离是25或1．