Question

8．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E为AB上一点，AE=2$\sqrt{3}$，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为4或4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①当AF＜$\frac{1}{2}$AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2$\sqrt{3}$，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过E作EH⊥MN于H，由矩形的性质得到MH=AE=2$\sqrt{3}$，根据勾股定理得到A′H=$\sqrt{A′{E}^{2}-H{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，根据勾股定理列方程即可得到结论；②当AF＞$\frac{1}{2}$AD时，由折叠的性质得到A′E=AE=2$\sqrt{3}$，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，根据矩形的性质得到DH=AG，HG=AD=6，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：①当AF＜$\frac{1}{2}$AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，
则A′E=AE=2$\sqrt{3}$，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
设MN是BC的垂直平分线，
则AM=$\frac{1}{2}$AD=3，
过E作EH⊥MN于H，
则四边形AEHM是矩形，
∴MH=AE=2$\sqrt{3}$，
∵A′H=$\sqrt{A′{E}^{2}-H{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴A′M=$\sqrt{3}$，
∵MF²+A′M²=A′F²，
∴（3-AF）²+（$\sqrt{3}$）²=AF²，
∴AF=2，
∴EF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{E}^{2}}$=4；
②当AF＞$\frac{1}{2}$AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，
则A′E=AE=2$\sqrt{3}$，AF=A′F，∠FA′E=∠A=90°，
设MN是BC的垂直平分线，
过A′作HG∥BC交AB于G，交CD于H，
则四边形AGHD是矩形，
∴DH=AG，HG=AD=6，
∴A′H=A′G$\frac{1}{2}$HG=3，
∴EG=$\sqrt{A′{E}^{2}-A′{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DH=AG=AE+EG=3$\sqrt{3}$，
∴A′F=$\sqrt{H{F}^{2}+A′{H}^{2}}$=6，
∴EF=$\sqrt{A′{E}^{2}+A′{F}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
综上所述，折痕EF的长为4或4$\sqrt{3}$，
故答案为：4或4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，矩形的性质和判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．