如图①.∠MON=60°.点A.B为射线OM.ON上的动点.且AB=$4\sqrt{3}$.在∠MON的内部.△AOB的外部有一点P.且AP=BP.∠APB=120°．(1)求AP的长,(2)求证:点P在∠MON的平分线上,(3)如图②.点C.D.E.F分别是四边形AOBP的边AO.OB.BP.PA的中点.连接CD.DE.EF.FC.OP．当AB⊥OP时.请直接写出四边形CDEF周长的值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

5．如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=$4\sqrt{3}$，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．
（1）求AP的长；
（2）求证：点P在∠MON的平分线上；
（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP．当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF周长的值．

分析（1）过点P作PQ⊥AB于点Q．根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度；
（2）作辅助线PS、PT（过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T）构建全等三角形△APS≌△BPT；然后根据全等三角形的性质推知PS=PT；最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上；
（3）利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB，当AB⊥OP时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度．

解答（1）解：过点P作PQ⊥AB于点Q．
∵PA=PB，∠APB=120°，AB=4$\sqrt{3}$
∴AQ=BQ=2$\sqrt{3}$，∠APQ=60°（等腰三角形的“三线合一”的性质），
在Rt△APQ中，sin∠APQ=$\frac{AQ}{AP}$
∴AP=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4；

（2）证明：过点P分别作PS⊥OM于点S，PT⊥ON于点T．
∴∠OSP=∠OTP=90°（垂直的定义）；
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOB-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°，
∴∠APS=∠BPT，
在△APS和△BPT中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ASP=∠BTP=90°}\\{∠APS=∠BPT}\\{AP=BP}\end{array}\right.$
∴△APS≌△BPT（AAS），
∴PS=PT（全等三角形的对应边相等）
∴点P在∠MON的平分线上；

（3）∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，OP⊥AB，
∴AQ=BQ=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴OQ=$\frac{AQ}{tan30°}$=6，
同理：PQ=$\frac{AQ}{tan60°}$=2，
∴OP=8，
∵点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，
∴CD=EF=$\frac{1}{2}$AB，CF=DE=$\frac{1}{2}$OP，
∴四边形CDEF的周长为：8+4$\sqrt{3}$．

点评本题综合考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、解直角三角形以及全等三角形的判定与性质．解答该题时，利用了角平分线逆定理--到角两边的距离相等的点在角平分线上．

练习册系列答案

68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

15．

如图，斜坡AC的坡比为1：$\sqrt{3}$，AC=10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与点A有一条彩带相连，AB=14米，试求旗杆BC的高度．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：选择题

16．下列图案中，是中心对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

13．小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示：

经过调查，他们得到了如下36个数据：
B    C    B    A    D    A    C    D    B
C    B    C    D    C    D    C    E    C
C    A    B    E    A    D    E    C    B
C    B    C    E    D    E    D    D    C
（1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值；
（2）小腾根据调查数据画出了如图2条形统计图，请你补全这个统计图；
（3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？适中．（填“适中”或者“不适中”）

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：填空题

20．已知点A（2，y₁）、B（m，y₂）是反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上的两点，且y₁＜y₂．写出满足条件的m的一个值，m可以是1．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：解答题

10．

随着生活质量的提高，人们的消费水平逐年上升，小明把自己家2010，2012，2014年的消费数据绘制统计图表如下：
年人均各项消费支出统计表

年份支出项目（单位：元）	2010年	2012年	2014年
食品支出	a	5600	6300
医疗、保健支出	2000	2200	3000
家庭用品及服务支出	3300	4000	5700
其他支出	2500	4200	6000