Question

如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知点B坐标为（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）判断△ABC的形状，说出△ABC外接圆的圆心位置，并求出圆心的坐标．

Answer 1

（1）；（2）该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：．

试题分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可求解；
（2）首先根据抛物线的解析式确定A点、B点、C点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．
试题解析：（1）∵点B（4，0）在抛物线的图象上，∴,∴．∴抛物线的解析式为：；
（2）△ABC为直角三角形．令x=0，得：y=-2，∴C（0，-2），令y=0，得，∴x₁=-1，x₂=4，∴A（-1，0），B（4，0），∴AB=5，AC=5BC=20，∴AC²+BC²=AB²，∴△ABC为直角三角形，∴AB为△ABC外接圆的直径，∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：．
考点: ①待定系数法求二次函数解析式；②勾股定理逆定理；③三角形的外心