Question

【题目】如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.

(1)请判断△CMN的形状，并说明理由；

(2)如果MC =3ND，CD =4，求线段MN的长。

Answer 1

【答案】（1）△CMN是等腰三角形（2）2

【解析】

（1）由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，由四边形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，则可证得∠CMN=∠CNM，继而可得CM=CN；

（2）首先过点N作NH⊥BC于点H，由MC=3ND，易得MH=2HC，然后设DN=x，在Rt△CDN中，利用勾股定理得出DC，求出x，再在Rt△MNH中根据勾股定理，可求得MN的长．

解：（1）△CMN是等腰三角形．理由如下：

由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠ANM=∠CMN．

∴∠CMN=∠CNM．

∴CM=CN，

即△CMN为等腰三角形；

（2）过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形．

∴HC=DN，NH=DC．

∵MC=3ND，

∴MH=2HC．

设DN=x，则HC=x，MH=2x，

∴CN=CM=3x．

在Rt△CDN中，，

，

，

在Rt△MNH中，.