Question

【题目】如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，F，G分别是BO，CO的中点．

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．

（2）若AB＝AC，则四边形DEFG是　 　（填写特殊的平行四边形）．

（3）若四边形DEFG是边长为2的正方形，试求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）矩形；（3）4+4．

【解析】

（1）利用DE为△ABC的中位线得到DE∥BC，DE＝BC，利用FG为△OBC的中位线得到FG∥BC，FG＝BC，则ED＝FG，ED∥FG，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；

（2）利用等腰三角形腰上的中线相等得到BD＝CE，再根据三角形重心性质得到OD＝BD，OE＝CE，所以OD＝OE，然后根据矩形的判定方法得到四边形DEFG是矩形；

（3）利用正方形的性质得到OE＝OD＝DE＝，∠DOE＝90°，则OB＝OC＝2OD＝2，再利用勾股定理计算出BE＝CD＝，所以AB＝AC＝2，由于BC＝2DE＝4，然后计算△ABC的周长．

（1）证明：∵BD和CE为△ABC的中线，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∵F，G分别是BO，CO的中点，

∴FG为△OBC的中位线，

∴FG∥BC，FG＝BC，

∴ED＝FG，ED∥FG，

∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：∵AB＝AC，

∴BD＝CE，

∵点O为△ABC的重心，

∴OD＝BD，OE＝CE，

∴OD＝OE，

∵四边形DEFG为平行四边形，

∴四边形DEFG是矩形；

故答案为：矩形；

（3）解：∵四边形DEFG是正方形，

∴OE＝OD＝DE＝，∠DOE＝90°，

∴OB＝OC＝2OD＝2，

在Rt△BOE中，BE＝，

同理得CD＝，

∴AB＝AC＝2，

∵BC＝2DE＝4，

∴△ABC的周长＝2+2+4＝4+4．