Question

甲题：关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+m²=0的实数解为x₁和x₂．
（1）求m的取值范围．
（2）当-=0时，求m的值．
乙题：如图，在△ABC中，AC=AB，以AB为直径的半⊙O交AC于点E交BC于点D，连AD、BE．
（1）求证：△BEC∽△ADC；
（2）BC²=2AB•CE．

Answer 1

甲题：解：（1）∵方程有实数解为x₁和x₂，
∴△=（2m+1）²-4m²=4m+1≥0，
解得m≥-；

（2）∵x₁²-x₂²=0，
∴x₁=x₂或x₁=-x₂，
当x₁=x₂时，△=4m+1=0，
解得，m=-，
当x₁=-x₂时，x₁+x₂=-（2m+1）=0，
解得m=-，
∵-＜-，
∴两解互为相反数时不符合题意，舍去，
故，m的值为-；

乙题：（1）证明：∵AB为半⊙O的直径，
∴∠ADB=∠AEB=90°，
∴∠ADC=∠BEC，
又∵∠C是公共角，
∴△BEC∽△ADC；

（2）∵AC=AB，∠ADB=90°，
∴BD=CD=BC（等腰三角形三线合一），
∵CD•BC=CE•AC，
∴BC•BC=CE•AB，
即BC²=2AB•CE．
分析：甲题：（1）根据一元二次方程有实数解，根的判别式△≥0列式求解即可；
（2）根据两解的平方相等，分两个解相等与互为相反数两种情况求解；
乙题：（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=∠AEB=90°，再根据等角的补角相等求出∠ADC=∠BEC，然后根据两角对应相等，两三角形相似证明；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=BC，然后根据割线定理列式整理即可得证．
点评：甲题主要考查了一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系，（2）要分两解相同与互为相反数两种情况讨论；乙题主要考查了相似三角形的判定，以及割线定理，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ADB=∠AEB=90°是解题的关键．